數學(xué)探究中的“白色陷阱”，想要精攻數學(xué)是避免不了的

高檔數學(xué)四處都是陷阱。那不？老黃就踩進(jìn)了一個(gè)，并且是本身給本身挖的陷阱。不外幸虧老黃沒(méi)有在那個(gè)陷阱中吃了虧，老黃稱(chēng)如許的陷阱為“白色陷阱”。那到底是怎么回事呢？

前段時(shí)間老黃探究了下面兩個(gè)不定積分公式：

老黃用了兩種辦法推導出了那兩個(gè)公式。那自己是沒(méi)有問(wèn)題的。問(wèn)題就出在老黃那小我出格喜好拓展。其時(shí)老黃想，若是把三角函數的角度從x拓展到x+b，能否仍有類(lèi)似的公式存在呢？因而，老黃“想當然的”把公式拓展為：(記為公式(*)(*))

但是它們其實(shí)是需要證明的。而老黃并沒(méi)有證明，那是老黃忽略了。那種忽略是很容易出錯的。若是老黃出錯了，那么老黃就給本身挖了一個(gè)“黑色陷阱”。籌辦承受大俠們的口水吞沒(méi)了。其實(shí)老黃是把那兩個(gè)公式和下面的兩個(gè)公式混淆了。(記為公式(*)(*))

那兩個(gè)公式理解起來(lái)就簡(jiǎn)單的多，按照dx=d(x+b)，它們其實(shí)是由公式(*)(2)別離換元，積分變量從x釀成x+b得到的。所以它們的本色仍是公式(*)(2). 那個(gè)混淆有可能就是致命的。但也不暗示公式(*)(*)是錯誤的。因為有時(shí)候錯進(jìn)錯出，錯有錯著(zhù)，說(shuō)不定它們也是準確的也難說(shuō)哦。下面老黃就證明那兩個(gè)公式，其實(shí)是準確的：

因為數學(xué)公式打出來(lái)十分繁瑣，所以全數用圖片的形式展現，若是有圖片不克不及顯示，能夠私信老黃索要。

探究*中，次要操縱cos(x+b)=cosbcosx-sinbsinx。然后運用不定積分的線(xiàn)性法例，得到公式(*)和公式(2). 最初又操縱cosbsinx+sinbcosx=sin(x+b)得證。那就得到了關(guān)于余弦的公式。

探究2中次要操縱cos(x+π/2)=-sinx，將正弦問(wèn)題化為余弦問(wèn)題，然后間接運用關(guān)于余弦的公式。最初再運用sin(x+π/2)=cosx得證。

接下來(lái)是幾道例題和操練：

例：求下列不定積分：

(*)∫(x-*)^**cos(x-*)dx; (2)∫x^**sin(x-*)dx; (*)∫(x-*)^7*cosxdx.

闡發(fā)：(*)運用公式(*), n=*, b=-*; (2)運用公式(*), n=*, b=-*; (*)運用公式(*), 那是一個(gè)關(guān)于x-*的不定積分，n=7, b=*.

由第(*)小題，又能夠拓展得如下公式(7)(8).

操練：求(*)∫(x-*)^8*cos2xdx; (2)∫(2x-*)^9*sinxdx.

數學(xué)問(wèn)題千變萬(wàn)化，就仿佛孫山公一樣。若是你不想讓他飛出你的手掌心，就要勤加思慮和操練。操練中兩個(gè)不定積分，都不在“五行”中，八個(gè)公式?jīng)]有一個(gè)能間接涵蓋到它們的。思緒就是想法子把它們化成某個(gè)公式的形式。(*)能夠湊成d(2x)，底數化為2x-2，不定積分前乘一個(gè)系數連結等式成立；(2)能夠把冪函數的底數中，x的系數前提到不定積分前面。解法如下：

當然由操練中的兩道題，也能夠拓展得到相關(guān)的公式，最初能夠那些公式綜合成一個(gè)復雜的公式。那方面的問(wèn)題，后面老黃再給各人分享。

本文從老黃的一個(gè)“白色陷阱”起頭，最初延伸出了許多常識。進(jìn)修數學(xué)，有時(shí)候踩各類(lèi)陷阱是在所不免的，沒(méi)有一小我能包管本身永久都是準確的。每一個(gè)陷阱，都是你前進(jìn)的契機。